تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

آنالیز ترکیبی

ترکیبیات،ریاضیات انتخاب و یا آنالیزترکیبی یکی از شاخه‌های جذاب ریاضیات است که به بررسی مسائل شمارش،گرافها ، بازی‌ها و نیز مسائل ساختاری روی مجموعه‌ها متناهی می پردازد. از جمله کاربردهای مهم این شاخه میتوان به استفاده آن در برنامه نویسی کامپیوتر و الگوریتم‌ها اشاره کرد. یکی از مسائلی که ترکیبیات را از دیگر شاخه‌های ریاضی متمایز می‌کند این است که آموختن آن نیاز به اطلاعات خاصی از ریاضیات ندارد و داشتن معلومات ریاضی دوره راهنمایی نیز برای درک آن کافی به نظر می رسد چرا که ریشه‌های ترکیبیات در واقع به مسائل معماگونه ریاضی و بازیها میرسد. بسیاری از مسائل ترکیبیات که در گذشته برای تفریح بررسی شده اند امروزه اهمیت زیادی در ریاضیات محض و کاربردی دارند. در قرن اخیر ترکیبیات به یکی از مهمترین شاخه‌های ریاضیات تبدیل شده و مرزهای آن همواره گسترش پیدا می‌کند که یکی از مهمترین علل این گسترش سریع، اختراع کامپیوتر می باشد: به علت سرعت بالای کامپیوترها بسیاری از مسائلی که قبلا قابل بررسی نبودند، بررسی شدند. البته تقابل کامپیوتر و ترکیبیات یک طرفه نبوده است و کامپیوترها نمی توانستند مستقل عمل کنند و برای عمل نباز به برنامه داشتند. اساس برنامه‌های کامپیوتری غالبا الگوریتمهای ترکیبیاتی اند و به همین دلیل اهمیت و کاربرد ترکیبیات پس از اختراع کامپیوتر چندین برابر معلوم شد و باعث شد تا ریاضیدانان بسیاری به تحقیقات گسترده در این زمینه رو آوردند. مباحث ترکیبیات بسیار گسترده اند ولی اساس آن بر پایه روشهای شمارش است که از جمله این روش‌ها می توان به اصل جمع، اصل ضرب، جایگشت اشاره کرد . یکایک شمردن یا شمارش، ممکن است به عنوان فرآیندی آشکار تلقی شود که هر دانشجو در آغاز مطالعه علم حساب فرا می گیرد. ولی به نظر می رسد که پس از آن، به تدریج که دانشجو به زمینه‌های «دشوارتر» ریاضیات، چون جبر، هندسه، مثلثات، و حساب دیفرانسیل و انتگرال می رسد توجه بسیار کمتری به گسترش بیشتر مفهوم شمارش مبذول می شود. یکایک شمردن محدود به حساب نیست. کاربردهایی نیز در زمینه هایی چون نظریه کدگذاری ، حساب احتمالات، و آمار (درریاضیات) و در تحلیل الگوریتم ها (در علم کامپیوتر) دارد.

قواعد

مطالعه خود را در ریاضیات گسسته و ترکیباتی با دو اصل اساسی شمارش آغاز می کنیم قاعده‌های حاصل جمع و حاصل ضرب، بیان این قاعده‌ها و کاربردهای اولیه آنها نسبتاً ساده به نظر می رسد. هنگام تحلیل مسائل پیچیده تر، غالباً قادریم مسئله را به بخشهایی قسمت کنیم که با به کارگیری این اصول اساسی قابل حل است. هدف ما ایجاد قدرت «تجزیه»ی این گونه مسائل و ترکیب راه حلهای جزئی برای رسیدن پاسخ نهایی است. یک راه مناسب برای انجام این امر، تجزیه و تحلیل و حل تعداد زیادی از مسائل گوناگون مربوط به شمردن است. ضمن اینکه تمام مدت باید اصولی را که در راه حلها به کار می روند در نظر داشت. این همان رهیافتی است که ما در اینجا دنبال خواهیم کرد.

اصل اول

اصل نخست شمارش را می توان به صورت زیر بیان کرد: قاعده حاصل جمع:اگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد، و اگر این دو کار را نتوان همزمان انجام داد، آنگاه این یا آنگاه را میتوان به m+n طریق انجام داد.

توجه داشته باشید که وقتی می گوییم رویدادی خاص، مثلاً کاری از نوع نخست، می تواند به m طریق دهد، فرض بر این است که این m طریق متمایرند، مگر آنکه خلاف آن بیان شود.

مثال 1 کتابخانه دانشکده ای کتاب درسی دربارهٔ جامعه‌شناسی و 50 کتاب درسی در باره انسان‌شناسی دارد. بنابر قاعده حاصل جمع، دانشجویی که در این دانشکده تحصیل می کند، به منظور فراگیری بیشتر دربارهٔ این یا آن موضوع، می تواند بین 90 = 50 + 40 کتاب درسی انتخاب به عمل آورد. مثال 2 قاعده بالا را می توان به بیشتر از دو کار تعمیم داد مشروط برآنکه هیچ جفتی از کارها را نتوان همزمان انجام داد. به عنوان مثال، یک مدرس علم کامپیوتر که در هر یک از زمینه‌ها اپل، بیسیک، فرترن، و پاسکال مثلاً پنج کتاب مقدماتی وارد، می تواند هر یک از این 20 کتاب را به دانشجوی علاقه‌مند به فراگیری نخستین و برنامه نویسی توصیه کند.

اصل دوم

مثال زیر مدخلی برای معرفی اصل دوم شمارش است. مدیر کارخانه ای به منظور اتخاذ تصمیمی دربارهٔ توسعه کارخانه، 12 نفر از کارمندان خود را در دو گروه گرد آورد. گروه A مرکب از پنج عضو است و بناست دربارهٔ نتایج مساعد احتمالی چنین توسعه تحقیقاتی به عمل آورد. گروه دیگر، یعنی گروه Bکه مرکب از هفت کارمند است دربارهٔ نتایج نامساعد احتمالی بررسیهایی به عمل خواهد آورد. اگر، قبل از اتخاذ تصمیم، مدیر نامبرده بخواهد فقط با یکی از این اعضا دربارهٔ تصمیم صحبت کند، آنگاه بنابر قانون حاصل جمع، می تواند 12 کارمند را احضار کند. ولی، به منظور قضاوت بی طرفانه مدیر نامبرده تقسیم می گیرد که روز دوشنبه با عضوی از گروه Aو سپس روز سه شنبه با عضوی از گروه B صحبت کند تا به اتخاذ تصمیمی نائل گردد. با به کارگیری اصل زیر، ملاحظه می کنیم که او می تواند به 35 = 7 * 5 طریق دو کارمند متعلق به گروههای دو گانه را برگزیند و با آنها صحبت کند.

قاعده حاصل ضرب

اگر عملی به دو مرحله اول و دوم تقسیم شود و اگر در مرحله اول m نتیجه ممکن و برای هر یک از این نتایج، nنتیجه ممکن در مرحله دوم وجود داشته باشد، آنگاه کل عمل نامبرده می تواند با ترتیب یاد شده، به mn طریق انجام شود.

گاهی این قاعده را اصل انتخاب نیز می نامند.

جایگشت

مفهوم جایگشت که یکی از مفاهیم مهم در اصول شمارش است را می توان در اثر عبری سفر یتزیر (سفر آفرینش)، که دستنوشته ای است از یک صوفی بین سالهای 200و 600، یافت. ولی شایان توجه است که، حتی قبل از آن، یکی از نتایجی که زنوکراتس از اهالی کالسدان (396 - 314 قبل از میلاد مسیح) به دست آورده بود احتمالاً حاوی «نخستین تلاش ثبت شده برای حل مسئله ای دشوار دربارهٔ ترتیبها و ترکیبها» است. نخستین متن درسی که دربارهٔ برخی از مباحثی که ما در این فصل مورد بحث قرار دادیم کتاب فن حدس زدن اثر ریاضیدان سویسی یاکوب برنولی یکی از هشت ریاضیدان برجسته خانواده برنولی، است. این کتاب مدتی پس از فوت یاکوب برنولی در 1713 منتشر شد و شامل تجدید چاپ نخستین رساله صوری دربارهٔ حساب احتمالات بود. این رساله در 1657 به وسیله کریستیان هویگنس فیزیکدان، ریاضیدان، و منجم هلندای که حلقه‌های دور مشتری را کشف کرد، نوشته شده بود.

ارائه قضیه دو جمله ای

بلز پاسکال

قضیه دو جمله‌ای به ازای 2n= در اثر اقلیدس ) 300 سال قبل از میلاد مسیح) دیده می شود، ولی عملاًدر قرن شانزدهم اصطلاح «ضریب دو جمله ای» به وسیله میشل اشفل وضع شد. او در اثرش به نام حساب صحیح ضرایب دو جمله ای را تا مرتبه به دست می دهد. بلزپاسکال در پژوهشهای خود دربارهٔ حساب احتمالات، در دهه 1650 رساله ای منتشر کرد که در آن ارتباطهای موجود ضرایب دو جمله ای، ترکیبها، و چند جمله ایها را بررسی می کرد. این نتایج را یاکوب برنولی هنگام اثبات صورت کلی قضیه دو جمله ای، با روشی مشابه با آنچه ما در این فصل ارائه کردیم، به کار برد. استفاده از نماد تا قرن نوزدهم که به وسیله آندره اس فن اتینگهاوزن به کار برده شد، هنوز متداول نشده بود.

در قرن بیستم بود که ظهور کامپیوتر امکان تحلیل منظم و اصولی فرایندها و الگوریتم هایی را که برای تولید جایگشتها و ترکیبها به کار می روند. فراهم ساخت. به طور کلی برای شمارش جایگشت از روش زیر استفاده می کنند.

اگر به عنوان n شی دو به دو متمایز باشند آنگاه هر حال کنار هم قرار گرفتن این n شی کنار هم در یک ردیف را یک جایگشت از این n شی می گوییم. برای ردیف کردن این n شی کنار هم به n مکان نیاز است. برای قرار دادن اولین شی در خانه اول n حالت انتخاب داریم. برای قرار دادن دومین شی در خانه دوم n-1 حالت انتخاب داریم و به همین ترتیب برای قرار داردن n امین شی باقی مانده در خانه nام(خانه اخر) 1 حالت انتخاب داریم به این ترتیب بر طبق اصل ضرب برای قرار دادن این n شی در کنار هم در یک ردیف:

حالت وجود دارد که برابر می باشد با:

به این ترتیب تعداد حالات جایگشت n شی دو به دو متمایز برابر است.

مثال: به چندطریق می توان 5 کتاب متفاوت را کنار هم در یک قفسه قرار داد؟ 

پاسخ: برطبق توضیحات داده شده جواب برابر است با:

جایگشت خود می توان به 2 بخش تقسیم شود: 1- جایگشت با تکرار 2- جایگشت دوری

جایگشت با تکرار

در قسمت قبل در مورد گونه ای جایگشت توضیح دادیم که در آن اشیا در به دو متمایز بودند اما گاهی ممکن است این اشیا در به دو متمایز نباشند و مثلا 3 عدد از انها از یک نوع باشند. چنین حالاتی را جایگشت باتکرار بررسی می کند. با یک مثال روش محاسبه را توضیح می دهیم و سپس فرمولی برای محاسبه حالات بیان می کنیم:

فرض کنید می خواهیم فقط با ارقام 1.2.2.3 اعداد چهار رقمی بسازیم. یعنی عدد 1 یکبار، عدد 2 دو بار، عدد 3 یکبار آمده باشد. بدیهی است که اگر این چهار رقم متمایز و به غیر صفر بودند تعداد اعداد برابر 24=!4 عدد می شد ولی اصل ضرب در این مورد ناخواسته دو عدد 2 را متمایز در نظر گرفته است و مثلا 1223 و 1223 را دو حالت متمایز در یظر گرفته است در حالی که این دو تفاوتی با هم ندارند. با نوشتن تعداد حالات متوجه میشویم که تعداد حالات واقعی این جایگشت !2 برابر مقدار محاسبه شده با اصل ضرب است به این ترتیب تعداد حالات واقعی برابر است. پس به این ترتیب تعداد k شی از یک نوع، به اندازه !K حالات اضافه تولید می کنند که باید از کل حالات که با اصل ضرب محاسبه می‌شود برداشته شوند.

تعریف: اگر n شی در اختیار داشته باشیم که تا از نوع اول، تا از نوع دوم، تا از نوع سوم،....و تا از نوع k ام باشند به گونه ای که این n شی به طریق می توانند در کنار هم قرار بگیرند. در فرمول فوق علت تقسیمها حذف حالات اضافی بوجود آمده است.

مثال: 8 پرچم موجوداند که 3تا به رنگ آبی و 2تا به رنگ قرمز و 3تا به رنگ سفید یکسان هستند.اگر قرار باشد این پرچم ها در یک ردیف کنار  
هم قرار گیرند چند علامت متمایز 8 پرچمی می توان ساخت؟ 

پاسخ:بر طبق مطالب فوق و فرمول ارائه شده تعداد حالات برابر است با:  
واضح است که در این سوال پرچمهای آبی !3 و قرمز !2 و سفید !3 حالت اضافی تولید می کنند که باید از حالات کل یعنی !8 حذف شوند.

جایگشت دوری

تا به حال در مورد جایگشتهایی بحث کردیم که در مورد کنار هم قرار دادن چند شی در یک ردیف بودند. حال می خواهیم گونه ای جایگشت را بررسی کنیم که در آن اشیا به صورت دوری در کنار هم قرار گیرند. با یک مثال نحوه محاسبه تعداد حالات جایگشت را توضیح می دهیم و در نهایت فرمولی برای محاسبه ان ارائه می دهیم: فرض کنید می خواهیم تعداد حالاتی را که ممکن است 3 نفربه دور یک میز گرد بنشینند محاسبه کنیم. اگر قرار بر این بود که این افراد در یک ردیف کنار هم باشند این عمل به 6=!3 حالت صورت می پذیرفت. اما در نشستن به دور میز گرد مسئله متفاوت است چرا که بر طبق شکل در این جایگشت هر 3 حالت:

یک حالت محسوب می شوند چرا که هر یک دوران یافته دیگری در یک زاویه معین است و نیز هر سه حالت:

نیز یک حالت محسوب محسوب می شوند. پس تعداد کل حالات متمایز برابر دو عدد است.

به عبارت دیگر می توان A را یکجا قرار داده و B و C را در اطراف او نشاند. این کار به !2=!(2-3) طریق رخ می دهد.

نتیجه: در حالت کلی برای محاسبه جایگشت‌های دوری n شی دو به دو متمایز ابتدا یکی آنها را ملاک قرار داذه(فرق نمی کند کدام را) و سپس n-1 شی باقی مانده را به !(n-1) حالت به دور او قرار می دهیم.

فاکتوریل

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

فاکتوریل

به حاصلضرب اعداد 1 تا n , n فاکتوریل گویند و آن را با نماد !n نمایش میدهند.

فاکتوریل (به فرانسوی: Factorielle) هر عدد طبیعی در ریاضیات از حاصل‌ضرب آن عدد در تمام اعداد صحیح و مثبت (اعداد طبیعی) کوچک‌تر از آن به دست می‌آید. فاکتوریل عددی مانند $n$ را $! n$ می‌نویسند و «اِن فاکتوریل» می‌خوانند. همچنین طبق قرارداد، فاکتوریل صفر همیشه برابر با یک است.

فاکتوریل برای اولین بار توسط کریستین کرامپ و در سال ۱۸۰۸ معرفی شد.

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
10	3,628,800
11	39,916,800
12	479,001,600
13	6,227,020,800
14	87,178,291,200
15	1,307,674,368,000
20	2,432,902,008,176,640,000
25	15,511,210,043,330,985,984,000,000

تعریف

تابع فاکتوریل به صورت زیر تعریف شده:

$n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N} . \!$

این تابع به وسیله توابع بازگشتی بصورت زیر تعریف می‌شود:

$n! = \begin{cases} n \leq 1 & 1 \\ n > 1 & n (n-1)! \\ \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$

مثال

$5 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \$

$6 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 \$

تقویت حل تمرین و مسائل ریاضی در دانش آموزان

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

باز هم ریاضی!!؟؟

کودکان امروز که آینده سازان جامعه فردایند نیاز به تقویت احساس دارند. معلمین نیز باید فرصتی را برای دانش آموزان فراهم آورند که پیشرفت خود را احساس کنند، زیرا هیچ عاملی به اندازه پیشرفت و موفقیت شخص را به کوشش و فعالیت وادار نمی سازد. باید احساس توانمندی را در آنها تقویت کرد.
مطابق نظریه شناخت بندورا (۱۹۹۷) باورهایی که فرد درباره توانایی های خویش دارد مهمترین عاملی است که رفتارهای آینده او را پیش بینی می کند.
میزان تلا ش، مداومت و پایداری بر انجام تکلیف، مایوس نشدن در مواجهه با شکست و خلا صه، انگیزه و پشتکار فرد برای انجام تکالیف، همگی تحت تاثیر باورهای خودکارآمدی و اعتماد به نفس او قرار می گیرند.
در بیشتر موارد به این دلیل دانش آموز در درس خواندن سستی و اهمال می کند که فکر می کند که تلا ش او بی ثمر است، یا فاقد توانایی لا زم برای موفق شدن است معلمی هستم که همواره با مساله ضعف اکثر دانش آموزان در حل مسائل و تمرینات ریاضی مواجه بوده و از خود پرسیده ام «چگونه می توانم ضعف دانش آموزان در درس ریاضی را بهبود بخشم؟» و این نه تنها نظر من بلکه نظر عده زیادی از همکاران و اولیای دانش آموزان نیز بوده و هست، همواره در پی رفع و بهبود آن بوده و از روش های مختلفی که به نظرم می رسیده استفاده کرده ام تا اینکه در سال تحصیلی جاری با توجه به راههای زیاد دیگری از جمله ایجاد انگیزه و آمادگی ذهنی دانش آموزان، ارتباط و توالی مفاهیم مختلف با یکدیگر و با اطلا عات قبلی دانش آموز، توانایی ارتباط صحیح و منطقی با دانش آموزان و... انجام می شد توجهم به مساله مهمی یعنی نقش اعتماد به نفس و احساس توانمندی در دانش آموزان در بهبود درس ریاضی از نظر حل مساله و تمرین، برخوردم و با اجرای آن به نتایج نسبتا مثبتی دست یافتم.
سعی کردن تک تک دانش آموزان را به آوردن پای تخته در بیشتر روزها و حل کردن تمرین توسط خودشان تشویق کرده و احساس توانمندی در آنها ایجاد کنم.
- برای اولیا جلسه گذاشته و از آنها خواستم بدون کمک، بر انجام تکالیف ریاضی فرزندان خود نظارت داشته و بخواهند تکالیف را حتما انجام دهند هر چند که بگوید بلد نیستم.
- با خود دانش آموزان صحبت کرده و خواستم برای حل مساله یا تمرین ابتدا با دقت به آن توجه کرده و ببینند سوال از آنها چه می خواهد، مثلا برای حل مساله لازم است:
- مساله مورد بحث را درست بفهمند
- معلومات و مفروضات آن را مشخص کنند.
- ارتباط آنها را درک نمایند.
- از طریق سازمان دادن به مفروضات راه مورد نظر را کشف کنند
- ضمن کارها و تشویق های کلاسی با هر پیشرفتی در درس ریاضی، هر دانش آموز به نسبت توانمندی خودش مورد تشویق قرار گرفته و به او امتیاز داده می شد.
مهر مخصوص درس ریاضی در نظر گرفته شد و به ازای حل درست تمرینات به شرط توضیح و چگونگی حل درست مساله در پای تخته، دفتر ریاضی و اوراق امتحانی او مهمور به مهر مخصوص و گرفتن امتیاز می شد.

از معاون و مدیر مدرسه خواسته شد که با توجه به اوراق امتحانی ماهانه و مستمر دانش آموزان در صورت پیشرفت در درس ریاضی آنها را مورد تشویق قرار دهند.
- از اولیا نیز خواسته شد که با صحبت های دلگرم کننده که با فرزندانشان می کنند بر توانمندی و اعتماد به نفسشان تاکید کرده، ولی حساب شده و ظریف عمل کنند و برای تلقین احساس توامندی به فرزندان خویش به شواهد عینی و واقعی استناد کنند، یعنی ابتدا نکته های مثبت و موفقیتآمیز عملکرد فرزندان خود را هر چند هم که اندک باشد انتخاب کنند و سپس براساس آن موفقیت ها به او بگویند که حتما دارای توانایی لازم هست و و می تواند موفق باشد.

چند پیشنهاد طلایی در حل

ریـاضـیـات

۱-هنگامیکه با یک مسئله بزرگ و پیچیده ریاضی مواجه میشوید...با آرامش کامل از نقطه شروع مسئله آن را بررسی کنید و این را بدانید که اکثر اوقات...اینگونه مسائل نکته ای دارند که با یافتن آن مسئله بسیار راحت و کوچک میشود.

۲-در آزمون های ریاضی هیچگاه برگه ی سوالات را از ابتدا تا آخر بررسی نکنید...از اولین سوال با آرامش شروع کنید و به ترتیب مسائل را حل کنید.

۳-سوال هایی را که احتیاج به وقت و تفکر بیشتری دارند و یا راه حل آنها طولانی است را پس از حل مسائل ساده تر انجام دهید تا با کمبود وقت مواجه نشوید.

۴-در صورتی که وقت کافی داشتید,حتما راه حل های خود را بار دیگر بررسی کنید. اگر برای چک کردن جواب ها پاسخی غیر از پاسخ داخل ورقه به دست آوردید,به سرعت پاسخ جدیدتر را جایگزین جواب قبل نکنید...برای بار سوم نیز آن مسئله را حل کرده و سپس جوابی را که چندین بار یکسان شد را یادداشت کنید.

و در آخر...اعتماد به هوش و توانایی هایتان همواره حرف اول را میزند!

موفق باشید.

امتحان هماهنگ ریاضی کشوری(سوم راهنمایی) خرداد 88

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

برای دریافت سوالات روی عکس یا نوشته بالای آن کلیک کنید.

معرفی وبسایت المپیاد ریاضی

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

دوستان عزیز سلام!

در این پست قصد دارم وبسایتی کاربردی و جالب را به دوستانی که در مقطع راهنمایی هستند

معرفی کنم.این وبسایت علاوه بر آموزش مباحث ریاضی مقطع راهنمایی, نمونه سوالات

المپیادها را برای کلیه پایه های مقطع راهنمایی در اختیار شما میگذارد.همچنین نتایج المپیادها

را به نمایش میگذارد.

http://www.olympiadelmi.ir/riazi/main.php

سینوس

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

سینوس

سینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

تعریف

در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیب» می‌نامیدند.
طبق تعریف بالا در مثلث روبه‌رو داریم:
$sin A=\frac{BC}{AC}$ و $sin C=\frac{AB}{AC}$

مثلث ABC

تغییرات سینوس

اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات سینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:

‎

$θ$ اندازه کمان	$0$	$\nearrow$	$\frac{\pi}{2}$	$\nearrow$	$π$	$\nearrow$	$\frac{3\pi}{2}$	$\nearrow$	$2π$
$s i n θ$	0	$\nearrow$	1	$\searrow$	0	$\searrow$	-1	$\nearrow$	0

تابع سینوس x

تابع سینوس

تابع سینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه سینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه $[1,1 - ]$ است. شکل تابع $f (x) = s i n x$ گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن $2π$ می‌باشد.

معادله

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

مــعــادلــه

معادله (واژه فارسی: هَمچَند) در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نماد‌هاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند.

تعریف معادله در ریاضیات

در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هردوی آن‌ها متغیر یا متغیرهائی وجود دارند.

معادله‌هائی که فارغ از ارزش (یا مقدار) متغیرها همواره درست باشند، اتحاد نامیده‌ می‌شوند. مثلاً معادله

$x - x = 0$

اتحاد است چون $x$ هر چه باشد این برابری همواره درست است. ولی معادله

$x + 1 = 2$

اتحاد نیست چون فقط اگر مقدار $x$ عدد ۱ باشد این برابری برقرار است. مقادیری از متغیرها را که باعث برقراری رابطه برابری در معادله می‌شود، "جواب معادله" می‌نامند. مثلاً در مثال قبل عدد ۱ جواب معادله است. پیدا کردن جواب معادله را "حل معادله" می‌نامند.

حل کردن معادله

برای حل معادله باید از خوش تعریفی توابع استفاده کرد مثلاً تابع $f (x) = x - 1$ را بر دو طرف تساوی اثر داده و معادله جدیدی بدست می آوریم مثلاً در مثال قبل بدست می آوریم:

$x + 1 - 1 = 2 - 1$

$x = 1$

برای اینکه به جواب برسیم باید توابعی را اثر دهیم که $x$ تنها در یک طرف معادله باشد.نکته مهم اینجاست که وقتی تابع یک به یک باشد جواب دو معادله باهم برابر است. حل معادله روش معلوم ومجهول کردن :جهت حل معادله یک قانون کلی داریم:1-مجهول (x)یکطرف بقیه طرف دوم2_اگرعددی راازیکطرف بطرف دیگر ببریم قرینه می‌شود3_ ضریب مجهول(x)/ معلوم = مقدارمجهول.مثال:

9x+5=14برای حل جملات شامل xیکطرف نگهداشته بقیه را طرف دوم میبریم . اگرعددی راازیکطرف به طرف دیگرببریم قرینه می‌شود یعنی علامت آن برعکس می‌شود مثبت به منفی ومنفی به مثبت تدیل می‌شود: 9x=14-5 مرحله اول درنتیجه 9x=9 مرحله سوم:x=9/9=1 پس x=1جواب معادله است برای امتحان معادله بجای xدرمعادله اولی مقداربدست آمده راقرار میدهیم باید دوطرف معادله باهم مساوی باشند اگرمساوی نباشند جواب بدست آمده غلط است .حال درمعادله اولیه 9x+5=14مقداربدست آمده x=1راقرارمیدهیم داریم: 9x+5=14 (x=1) 9*1+5=9+5=14=14 یعنی دوطرف مساویند پس x=1جواب درست معادله است.

اتحادها(جبر)

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

اتــحــاد

اتحاد یک گزاره ریاضی همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیتهای جبری در ریاضی بکار می‌رود.

کاربرد اتحاد

ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱^۲
تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.

انواع اتحاد

اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:

مربع دو جمله ای

مربع سه جمله‌ای

مکعب مجموع دو جمله

مزدوج

اتحاد جمله مشترک

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله

اویلر(اولر)

اتحاد لاگرانژ

نیوتونی

ریاضی و شکلات

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

یک راه حل شـیـریـن

ايسنا: اگر در درس رياضي ضعيف هستيد و نمره خوبي نگرفته‌ايد قبل از شركت در امتحان بعدي،‌ مقدار زيادي شكلات بخوريد. پژوهشگران می گویند شكلات توان مغز را در انجام تحليل‌هاي رياضي بهبود بخشیده و همچنين ميزان انرژي بدن را افزايش می دهد.

محققان دريافته‌اند: شكلات و گروهي از مواد شيميايي موسوم به پلي فنول‌ها حاوي تركيبي به نام فلاوانول‌ها هستند كه اين ماده با افزايش جريان خون در مغز اين تاثيرات تقويت كننده را بر جاي مي‌گذارد. اين پژوهش از سوي محققان دانشگاه نورتومبريا انجام گرفته است.

يافته‌هاي اين تحقيق نشان مي‌دهد: دانش آموزاني كه قبل از امتحان رياضي شكلات مي‌خورند واقعا در امتحان خود موفق‌تر عمل مي‌كنند و از مزيت تاثير شكلات روي توان مغزي بهره‌مند مي‌شوند. مصرف شكلات براي انجام كارهايي كه چالش ذهني به دنبال دارد، مفيد است.

پژوهشگران توصيه مي‌كنند: براي كارهايي كه در انجام آنها دچار مشكل مي‌شويد، شكلات بخوريد تا به شما كمك كند. در اين پژوهش 30 داوطلب تحت مطالعه قرار گرفتند.

نتايج تحقيقات نشان داد: كساني كه شكلات داغ مصرف مي‌كنند سريعتر و صحيح تر محاسبات رياضي را انجام مي‌دهند.

قضیه فیثاغورث

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

رابطه فیثاغورث

در علم ریاضی، قضیه فیثاغورث، یک رابطه در فضای اقلیدسی بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را بیان می‌کند. اگر چه این قضیه قبل از آن که فیثاغورث آن را بیان کند توسط بابلیان و هندوها به کار برده می‌شد ولی به نام او ثبت گردید.

قضیه

img/daneshnameh_up/6/62/Pythagorean.png

د رمثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه A در آن قائمه است ، در صفحه رابطه‌ی زیر همیشه بین اضلاع برقرار است:

می‌توان این قضیه را به صورت ساده‌تر بیان کرد : فرض کنید سه مربع روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه،که طول اضلاع قائم آن a وb و طول وتر آن c میباشد؛مطابق شکل زیر می‌سازیم

این قضیه به ما توضیح می‌دهد که جمع مساحتهای دو مربع ساخته شده روی دو ضلع قائم یک مثلث قائم الزاویه با مساحت مربع ساخته شده روی وتر برابر است.

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که دارای یک زاویه قائم می‌باشد و به ضلعی که روبروی این زاویه در مثلث قرار دارد، وتر می‌گویند.
در شکل اضلاع زاویه قائم با aوb و وتر با c نشان داده شده است.
بیان دیگر قضیه به این صورت است که در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربعات دو ضلع قائم با مجذور وتر برابر است.

جالب است بدانید که بیش از شصت روش هندسی برای اثبات این قضیه وجود دارد.

اثبات قضیه

img/daneshnameh_up/5/56/Pythagorean_proof.png

می توان با توجه به شکل روبرو اثبات هندسی قضیه را به راحتی درک کرد.
در هر دو شکل مربعی به ضلع a+b داریم.در شکل سمت راست چهار نمونه از مثلث قائم الزاویه دور مربع ساخته شده بروی وتر وجود دارد. و هر چهار مثلث دارای مساحت یکسان می باشند. با چند جابجایی در شکل سمت راست به شکل سمت چپ می‌رسیم.در این شکل همان چهار مثلث قبلی وجود دارند ولی مربعی که اضلاع آن به c بود به دو مربع به اضلاع a,b تبدیل شده است، که همان قضیه فیثاغورث را نشان می‌دهد

شکل زیر نیز نشان دهنده روش دیگری از اثبات هندسی می باشد:

مجموعه ها

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

مجموعه

مجموعه، از بنداشت‌های (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.

به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.

نظریه مجموعه در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی آموزش ریاضیات است.

مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضو‌ها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شود. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشد. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابر این منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایه آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.

معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعه Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.

تعریف هر مجموعه

یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر تعریف کرد:

Aمجموعه نخستین ۴ عدد طبیعی است.

B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.

همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو کروشه قرار دهیم:

{۱,۲,۳,۴} = C

{سبز، سفید، قرمز} = D

البته دو تعریف گوناگون؛ هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به طور مشابه B = D . توجه کنید که در یک مجموعه، جابه جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:

{۱۱,۶}={۶,۱۱}={۶,۱۱,۶,۶}

حال فرض کنید E مجموعه نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگ (که تعداد اعضای آنها زیاد است)، نوشتن همه عناصر مجموعه غیرعملی است. بنابراین Eرا به طور خلاصه به این شکل نمایش می‌‌دهیم:

{۱۰۰۰,...,۱,۲,۳} = E

معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-,۳-,۰,...,۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که "F مجموعه نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست". در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌‌کنیم:

F={n^۲-۴: 0 <= n <= ۱۹} , nЄN

یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲-۴ است به طوریکه n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارد.

مطالب در ارتباط با مجموعه‌ها

اجتماع (مجموعه)

اگر عضوهای دو مجموعه $A$ و $B$ را در مجموعهٔ دیگری بریزیم، این مجموعه را اجتماع آنها نامیده و با نمایش می‌دهیم.

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر داشته باشیم .

اجتماع همه اعضای S که آن را با یا نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، را با نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با ،... و اجتماع n مجموعه را با نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

اشتراک(مجمــوعــه)

مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها مینامیم و آن را با نماد ∩ نشان میدهیم مثل : A∩B

تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با یا نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسأله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود .

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با ،... و اشتراک n مجموعه را با نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

خواص اشتراک

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

اگر و تنها اگر .

بُردار

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

بُردار

کميتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نيز باشد. مهم ترين کميت های برداری که می‌‌توان نام برد عبارت‌اند از:

۱- مکان ۲- سرعت ۳- شتاب ۴- نيرو ۵- ميدان های الکتريکی و مغناطيسی

يکی از بهترين راهای تشخيص برداری بودن يا نبودن يک کميت اينست که بررسی کنيم آيا جمع آن کميت خاصيت برداری دارد يا خير. مثلاً جريان الکتريکی با وجود آنکه علاوه بر اندازه جهت نيز دارد ولی برداری نيست زيرا جمع جريان ها به صورت اسکالر صورت می‌‌گيرد (قانون جريان کيرشهف).

در حالت بسيار کلی هر مجموعه عدد که به صورت يک ماتريس ستونی n*۱ قابل نوشتن باشد بردار گفته می‌شود. کاربرد اين مفهوم در توصيف حالت سيستم ها به مراتب بيشتر از محاسبات پديده‌های فيزيکی است.

×اعداد اول×

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

اعداد اول

عدد اول(انگلیسی: Prime number) عددی طبیعی(Natural number) است که بر هیچ عددی بجز خود و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است. علامت اختصاری این اعداد $n \!$ است.

رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.

پیدا کردن ضابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹

غربال اراتوستنس الگوریتمی ساده و قدیمی برای یافتن همه‌ی اعداد اول تا عدد صحیح برگزیده است. این الگوریتم پیش از غربال آتکین، که سریع‌تر و پیچیده‌تر بود، مورد استفاده قرار می‌گرفت. غربال اراتوستنس را اراتوستنس، ریاضیدان یونان باستان در قرن سوم پیش از میلاد ابداع کرد.

قضیه‌ها

قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:

فرض خلف : اعداد اول متناهی است.

اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.

$P 1, P 2, P 3,..., P n$

ضرب اعداد از $P i$ بزرگ‌تراست.

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n > P_i$

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 > P_i$

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 = P_{i_1} ... P_{i_k}$

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 = P_i \times X$

$P_{i_1} \times ... \times P_{i_k} = P_i \times X$

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n +1 = Y+1$

$P_{i_1} \times Y + 1 = P_{i_1} \times X$

$P_{i_1} \times X - P_{i_1} \times Y = 1$

$P_{i_1}\times(X-Y) = 1$

$P_{i_1} = 1$

که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را می توان به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳ (قضیه چبیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.
قضیه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.
قضیه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴)
قضیه ۶-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.

خواص اعداد اول

مجذور هر عدد اول برابر است با ۲۴n+۱.

کشف و محاسبه

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۲‬میلیون و ‪ ۵۸۲‬هزار و ‪ ۶۵۷‬منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک استگ گروه محاسباتی سراوان دیتا که یک گروه محاسباتی ارانی می باشد که در زمینه های مختلف محاسباتی از جمله اعداد اول فعالیت می کند اعداد بسیاری را کشف و محاسبه کرده از جمله تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون که از لینک زیر قابل دانلود می باشند تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون

جایزه ها برای پیدا کردن اعداد اول

موسسه Electronic Frontier Foundation جایزه ای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل 10 میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته است.همچنین مبلغ 150 هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با 100 میلیون رقم و 250 هزار دلار برای 1 میلیارد رقم در نظر گرفته شده است.این موسسه ممکن است مبلغ 100 هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول 13 میلیون رقمی شدند پرداخت کند.

الگوهای توزیع اعداد اول

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.

دوران

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

دَوَران

دَوَران، حرکت یک جسم در جهت دایره‌ای است.

یک کره در حال دوران به دور محور خود (حرکت اسپینی)

برای یک جسم دوبعدی، دوران به دور یک نقطه است. در فضا، دوران می‌تواند به دور یک محور و یا یک نقطه انجام شود. در حالت دوران حول محور، ذرات تشکیل‌دهندهٔ جسم، بر روی دوایری هم‌محور با محور دوران حرکت می‌کنند.^[۱]

در دوران جسم سه‌بعدی، ممکن است جسم به دور یکی از محورهای تقارن خود بچرخد که به آن حرکت اسپینی گفته می‌شود و یا محور دوران خارج از جسم واقع باشد که به آن حرکت اُربیتی گفته می‌شود.

کُره

تاريخ : | | نویسنده : شیوا عظیمی

کُره

کُره یا گوی یک شی هندسی متقارن است. در کاربرد غیرریاضیاتی این واژه بیش‌تر برای یک توپ گرد یا رویهٔ دوبعدی آن به کار می‌رود.

ولی در ریاضیات یک کره مجموعهٔ همهٔ نقاط در فضای سه بُعدی (R3) است که در فاصلهٔ r از یک نقطه در آن فضا هستند. r یک عدد حقیقی مثبت است که شعاع کره خوانده می‌شود.

بنابراین در سه‌بُعد، یک کره ریاضیاتی یک سطح کُرَوی دوبُعدی است که در فضای سه‌بُعدی جاگرفته است. آن نقطهٔ ساکن مرکز نامیده می‌شود. مورد ویژهٔ r=۱ را کرهٔ واحد می‌گویند.

نگاره یک کره

.: Weblog Themes By Pichak :.

آنالیز ترکیبی

قواعد

اصل اول

قاعده حاصل ضرب

جایگشت

جایگشت با تکرار

جایگشت دوری

تعریف

مثال

تعریف

تغییرات سینوس

تابع سینوس

حل کردن معادله

انواع اتحاد

مربع دو جمله ای

مربع سه جمله‌ای

مکعب مجموع دو جمله

مزدوج

اتحاد جمله مشترک

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله

اویلر(اولر)

اتحاد لاگرانژ

نیوتونی

قضیه

اثبات قضیه

تعریف هر مجموعه

مطالب در ارتباط با مجموعه‌ها

اجتماع (مجموعه)

اگر عضوهای دو مجموعه A و B را در مجموعهٔ دیگری بریزیم، این مجموعه را اجتماع آنها نامیده و با نمایش می‌دهیم.

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر داشته باشیم .

اجتماع همه اعضای S که آن را با یا نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

اشتراک(مجمــوعــه)

تعریف

خواص اشتراک

خواص اعداد اول

کشف و محاسبه

جایزه ها برای پیدا کردن اعداد اول

الگوهای توزیع اعداد اول

مترجم سایت

اگر عضوهای دو مجموعه $A$ و $B$ را در مجموعهٔ دیگری بریزیم، این مجموعه را اجتماع آنها نامیده و با نمایش می‌دهیم.