رابطه فیثاغورث

در علم ریاضی، قضیه فیثاغورث، یک رابطه در فضای اقلیدسی بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را بیان می‌کند. اگر چه این قضیه قبل از آن که فیثاغورث آن را بیان کند توسط بابلیان و هندوها به کار برده می‌شد ولی به نام او ثبت گردید.

د رمثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه A در آن قائمه است ، در صفحه رابطه‌ی زیر همیشه بین اضلاع برقرار است:

می‌توان این قضیه را به صورت ساده‌تر بیان کرد : فرض کنید سه مربع روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه،که طول اضلاع قائم آن a وb و طول وتر آن c میباشد؛مطابق شکل زیر می‌سازیم


این قضیه به ما توضیح می‌دهد که جمع مساحتهای دو مربع ساخته شده روی دو ضلع قائم یک مثلث قائم الزاویه با مساحت مربع ساخته شده روی وتر برابر است.

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که دارای یک زاویه قائم می‌باشد و به ضلعی که روبروی این زاویه در مثلث قرار دارد، وتر می‌گویند.
در شکل اضلاع زاویه قائم با aوb و وتر با c نشان داده شده است.
بیان دیگر قضیه به این صورت است که در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربعات دو ضلع قائم با مجذور وتر برابر است.

می توان با توجه به شکل روبرو اثبات هندسی قضیه را به راحتی درک کرد.
در هر دو شکل مربعی به ضلع a+b داریم.در شکل سمت راست چهار نمونه از مثلث قائم الزاویه دور مربع ساخته شده بروی وتر وجود دارد. و هر چهار مثلث دارای مساحت یکسان می باشند. با چند جابجایی در شکل سمت راست به شکل سمت چپ می‌رسیم.در این شکل همان چهار مثلث قبلی وجود دارند ولی مربعی که اضلاع آن به c بود به دو مربع به اضلاع a,b تبدیل شده است، که همان قضیه فیثاغورث را نشان می‌دهد

شکل زیر نیز نشان دهنده روش دیگری از اثبات هندسی می باشد:

دَوَران

دَوَران، حرکت یک جسم در جهت دایره‌ای است.

برای یک جسم دوبعدی، دوران به دور یک نقطه است. در فضا، دوران می‌تواند به دور یک محور و یا یک نقطه انجام شود. در حالت دوران حول محور، ذرات تشکیل‌دهندهٔ جسم، بر روی دوایری هم‌محور با محور دوران حرکت می‌کنند.^[۱]

در دوران جسم سه‌بعدی، ممکن است جسم به دور یکی از محورهای تقارن خود بچرخد که به آن حرکت اسپینی گفته می‌شود و یا محور دوران خارج از جسم واقع باشد که به آن حرکت اُربیتی گفته می‌شود.

کُره

کُره یا گوی یک شی هندسی متقارن است. در کاربرد غیرریاضیاتی این واژه بیش‌تر برای یک توپ گرد یا رویهٔ دوبعدی آن به کار می‌رود.

ولی در ریاضیات یک کره مجموعهٔ همهٔ نقاط در فضای سه بُعدی (R3) است که در فاصلهٔ r از یک نقطه در آن فضا هستند. r یک عدد حقیقی مثبت است که شعاع کره خوانده می‌شود.

بنابراین در سه‌بُعد، یک کره ریاضیاتی یک سطح کُرَوی دوبُعدی است که در فضای سه‌بُعدی جاگرفته است. آن نقطهٔ ساکن مرکز نامیده می‌شود. مورد ویژهٔ r=۱ را کرهٔ واحد می‌گویند.

نگاره یک کره

هرم

هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قائده هرم گفته می‌شود.

انواع هرم

اگر قائده هرم مثلث یا مربع باشد به آن، به ترتیب، هرم مثلث‌القائده و هرم مربع‌القائده می‌گویند. اگر قائده هرم (یا شکل هرمی) دایره باشد به آن مخروط گفته می‌شود.

 حجم هرم

حجم درون یک هرم برابر یک سوم مساحت قائده، ضرب در ارتفاع هرم است که منظور از ارتفاع هرم فاصله رأس تا صفحه‌ای است که قائده در آن قرار دارد.

مکعب

مُکَعَّب به حجم بسته سه بعدی گویند که از 6 مربع برابر تشکیل شده باشد. به صورتی که هر ضلع هریک از مربعها با تنها یک مربع دیگر مشترک باشد و در راس‌ها سه مربع با یکدیگر در ارتباط هستند. مکعب را می‌توان یک شش‌پجهی منظم نامید و یکی از پنج جسم افلاطونی است. اگر همه یا برخی از وجوه یک مکعب را از مربع به مستطیل تغییر بدهیم، شش وجهی بوجود آمده مکعب مستطیل نامیده می‌شود. گاه برای تمایز با مکعب مستطیل، مکعب (با وجوه مربع) را مکعب مربع نیز ممکن است بنامند.

مختصات دکارتی

برای یک مکعب که مرکز آن در مرکز صفحه مختصات قرار دارد و اضلاع آن با محورهای مختصات موازی هستند و طول هر کدام برابر ۲ است مختصات دکارتی عبارت‌اند از:

(۱±و۱±و۱±)

که داخل مکعب شامل تمام نقاط (x₀, x₂, x₂) هستند که مختصات این نقاط بین ۱- و ۱ قرار دارد.

 فرمولها

مساحت	6a2
حجم	a3
شعاع کره محاط بر مکعب
شعاع کره مماس بر اضلاع
شعاع کره محیط بر مکعب

بدلیل محاسبه حجم مکعب از طریق توان سوم اضلاع آن، توان سوم مکعب نامیده می‌شود همان‌طور که توان دوم مربع نامیده می‌شود.

مکعب بیشترین حجم را در بین مکعب مستطیل‌های دارای سطح یکسان است و همچنین بیشترین حجم را در بین مکعب مستطیل‌های دارای طول اضلاع مساوی است.

 تقارن

(۳ رنگ) | ۲ ۲ ۲ D2h

(۲ رنگ) ۴ ۲ | ۲ D4h

(۱ رنگ) ۳ | ۴ ۲ Oh

مُثَلَث

مثلث (سه‌گوش) شکلی مسطح است که از اتصال سه نقطه غیرهم‌خط در صفحه به وجود می‌آید. مثلث دارای سه ضلع و سه زاویه است.

مساحت مثلث

مساحت یک مثلث برابر یک دوم طول یک ضلع، ضرب در طول ارتفاع وارد بر آن، یعنی فاصله رأس سوم تا خط شامل ضلع انتخاب‌شده، است.

مساحت هر نوع مثلث بدون دانستن ارتفاع

فرض می‌کنیم a و b و c اضلاع یک مثلث از هر نوع داده شده باشد (خواه قائم الزاویه - متساوی الساقین - مختلف الاضلاع) فرمول زیر مساحت مثلث را یبان می‌کند :

if a+b+c=2p → s2=p(p-a)(p-b)(p-c)→ یعنی →

توان دوم مساحت مثلث از این فرمول یدست می‌آید با یک بار جذر گرفتن از آن مساحت مثلث را خواهیم داشت

مرکز دایره محاطی محل برخورد عمود منصف های اضلاع مثلث است.

با دانستن خصوصیات بعضی از خطوط مانند ارتفاع یا عمود منصف و یا میانه میتوانیم به نتایج جالبی در مورد دست پیدا کنیم. برخی از این نتایج را بیان میکنیم: اگر بر سه ضلع مثلث خطوطی را عمود میکنیم به طوریکه این خطوط اضلاع را نصف نمایند.(در واقع عمود منصف اضلاع را رسم میکنیم)در این صورت محل برخورد این سه خط، مرکز دایره ای خواهد بود که مثلث را احاطه میکند . به این دایره، دایره محاطی گویند.این دایره طوری رسم میشود که از سه راس مثلث عبور کند. طبق قضیه فیثاغورث اگر مرکز دایره محاطی روی یکی از اضلاع قرار گیرد آنگاه زاویه مقابل آن ضلع قائم خواهد بود.به عبارتی دیگر مثلث ما قائم الزاویه خواهد بود. اگر مرکز دایره درون مثلث باشد ،مثلث ما یک مثلث حاده خواهد بود و اگر بیرون مثلث باشد، مثلث از نوع منفرجه خواهد بود. ارتفاع مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث عبور کرده و بر ضلع مقابل آن راس عمود میشود.ضلعی را که ارتفاع بر آن عمود است را قاعده مثلث گویند.طول ارتفاع ، فاصله بین راس و قاعده نظیر ارتفاع است.اگر سه ارتفاع مثلث را رسم کنیم این سه ارتفاع همدیگر را در داخل مثلث قطع میکنند مگر در حالتی که مثلث ،منفرجه باشد.

محل برخورد نیمسازهای مثلث مرکز دایره محیطی است.

نیمساز یک زاویه از مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث گذشته و آن زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. اگر نیمسازهای سه زاویه مثلث را رسم کنیم این خطوط در نقطه ای درون مثلث همدیگر را قطع خواهند کرد.این نقطه مرکز دایره محیطی مثلث خواهد بود.این دایره درون مثلث قرار دارد به طوریکه اضلاع مثلث، خطوطی مماس بر دایره هستند.

میانه یک مثلث خط راستی است که از راس مثلث گذشته و ضلع مقابل آن را به دو قسمت مساوی تقسیم میکند. سه میانه مثلث یکدیگر را در نقطه ای به نام مرکز مثلث قطع میکنند البته این نقطه مرکز ثقل مثلث نیز میباشدهمچنین این نقطه هر میانه مثلث را به نسبت 1 به 2 تقسیم میکند به طوریکه فاصله میان راس مثلث تا این نقطه دو برابر فاصله این نقطه تا نقطه میانی ضلع مقابل راس است.

روابط بین ضلع ها در مثلث مجموع هر دو ضلع، بزرگتر از ضلع سوم است. در مثلث هر ضلع، بزرگتر از تفاضل بین دو ضلع دیگر است.

روابط بین زوایا مجموع زاویه های داخلی مثلث 180 درجه است. مجموع زاویه های خارجی مثلث 360 درجه است. هر زاویه خارجی برابر مجموع دو زاویه داخلی مجاور آن است.

روابط بین ضلع ها و زوایا در مثلث زاویه مقابل به ضلع بزرگتر از زاویه مقابل به ضلع کوچکتر بزرگتر است. ضلع مقابل به زاویه بزرگتر از ضلع مقابل به زاویه کوچکتر بزرگتر است. زوایای مقابل به اضلاع برابر برابرند و برعکس. هر مثلث متساوی الساقین متقارین است. عمود از رأس به قاعده مثلث متساوی الساقین قاعده و زاویه رأس آن را نصف می کند. زوایای قاعده مثلث متساوی الستقین برابرند. در مثلث قائم الزاویه زوایای حاده متمم اند. در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، زوایای قاعده 45 درجه اند. در مثلث متساوی الاضلاع تمام زوایای داخلی برابرند، هر یک 60 درجه است. مثلثهای متساوی الاضلاع سه محور تقارن دارند. اگر یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه ای 30 درجه باشد، ضلع مقابه به آن نصف وتر است.

مساحت مثلث = ( قاعده × ارتــــــفاع ) ÷ 2 محیط مثلث = مجموع سه ضلع علم مثلثات بر اساس روابط موجود در مثلث قائم الزاویه تعریف و در علوم مختلف مهندسی بکاربرده میشود.

 مجموع اندازه زوایای مثلث

در هندسه اقلیدسی مجموع اندازه زوایای هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه‌است.